Matemática também é poesia.

O quociente e a incógnita

"Às folhas tantas do livro de matemática, um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base. Uma figura ímpar olhos rombóides, boca trapezóide, corpo ortogonal, seios esferóides. Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito. "Quem és tu?" - indagou ele com ânsia radical. "Eu sou a soma dos quadrados dos catetos, mas pode me chamar de hipotenusa". E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética, corresponde a almas irmãs, primos entre-si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas senoidais. Nos jardins da quarta dimensão, escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas e os exegetas do universo finito. Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim, resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar, uma perpendicular. Convidaram os padrinhos: o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas para o futuro, sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos e foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia. Foi então que surgiu o máximo divisor comum, frequentador de círculos concêntricos viciosos, ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade. Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema, ele era a fração mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade, como, aliás, em qualquer Sociedade ..."  Millôr Fernandes  Disponível:http://www.somatematica.com.br/poemas.php

Aprender divisão é mais que dividir

 Não basta ensinar o algoritmo. A garotada precisa analisar os termos da operação, inclusive o resto. Muitas vezes, ele faz parte da resposta

Tatiana Pinheiro (novaescola@atleitor.com.br)

Você sabe que as crianças lidam com a divisão no dia a dia desde a Educação Infantil. Por exemplo: para distribuir 6 balas para 3 colegas de maneira que todos ganhem a mesma quantidade, elas usam estratégias como desenhar os doces e os amigos e traçar linhas, contar nos dedos, montar tabelas para relacionar os dados ou fazer somas sucessivas.

As dificuldades com a operação começam quando aparece a conta armada - a estrutura dela não revela de modo claro outras operações utilizadas durante o processo: a multiplicação e a subtração. É preciso, então, ir além do algoritmo. Ao considerar os modos de resolução dos estudantes e apresentar questões que envolvem mais que a resolução dos cálculos, a turma é desafiada a explorar a quantidade global envolvida e não somente o valor posicional dos números.

Para trabalhar com a garotada de 4º e 5º anos, duas atividades são essenciais: o estudo das relações entre os termos da divisão e a análise do resto. Confira como cada uma delas deve ser encaminhada.

Estudo das relações entre os termos

Proposta que vai além de mostrar aos alunos que o quociente multiplicado pelo divisor e somado ao resto equivale ao dividendo (q x d + r = D). O objetivo é apresentar problemas como o do quadro na página seguinte. Eles foram resolvidos por alunos do 5º ano da Escola Projeto Vida, na capital paulista. A tarefa solicitada não é calcular, mas analisar os valores para que a relação entre eles faça sentido. "As crianças podem começar testando diversos números e conferir a validade deles montando a conta, para depois sistematizar o aprendizado. Aí a regra faz sentido", explica Ana Maria Hungria, professora da turma. Com o avanço no domínio dessas relações e dos papéis de cada termo, Mercedes Etchemendy e Paola Tarasow, pesquisadoras argentinas especialistas em Didática da Matemática, sugerem apresentar à meninada questões como esta: "Proponha uma conta de dividir em que o divisor é 45 e o resto 12. Existe apenas uma? Ou mais? Por quê?". O objetivo, nesse caso, é compreender que, para achar o dividendo, é necessário conhecer o quociente, mas, como não há restrições ao valor dele, é possível usar qualquer número inteiro positivo - e, portanto, as soluções são infinitas (D = 45 x 0 + 12, D = 45 x 1 + 12, D = 45 x 2 + 12 etc.). Outro exemplo: "Proponha uma conta de dividir em que o divisor é 5 e o quociente é 12. Existe apenas uma? Ou mais?" Para reponder, os alunos precisam levar em conta que o resto só pode assumir os valores 0, 1, 2, 3 e 4, pois tem de ser menor que o divisor. Levando isso em conta, as possibilidades são cinco (D = 5 x 12 + 0 = 60; D = 5 x 12 + 1 = 61; D = 5 x 12 + 2 = 62; D = 5 x 12 + 3 = 63, D = 5 x 12 + 4 = 64).

Análise do resto

Atividade para a turma aprender como lidar com o termo em questão, que faz parte da resposta, tal como o quociente. Muitas vezes, as crianças o desconsideram e dão o problema por terminado, inclusive quando ele é maior que o divisor e ainda pode (e deve) continuar sendo dividido. Nos anos finais do Ensino Fundamental, o professor precisa discutir com a turma o contexto do problema apresentado. É ele que vai determinar se o que sobrou pode ser dividido em partes menores (no caso de dinheiro, chocolates, maçãs etc.) ou não (quando se trata de pessoas, figurinhas, bexigas etc.). Na maioria das vezes, as crianças não consideram esse detalhe e apresentam como resposta só o quociente. Para desestabilizá-las, Ana Maria apresenta questões como as do quadro da página seguinte. Elas também foram resolvidas pela turma do 5º ano. A primeira obriga os estudantes a encontrar uma forma de dividir o dinheiro que sobra, ainda que ele seja menor que o divisor. A solução é transformar o resto em centavos e agregá-los ao quociente. Já o segundo problema requer não só resolver o cálculo, mas considerar que o resto influenciará na resposta, já que o contexto tem a ver com o transporte de pessoas. "As que restam (20) farão parte da 4ª viagem, sendo que 3 serão realizadas com a capacidade máxima do elevador", diz Ana Maria. Para seguir com o trabalho, Mercedes e Paola dão outra sugestão: "A escola recebeu 87 lápis para serem distribuídos igualmente a 23 alunos. Quantas unidades ainda são necessárias para que todos recebam a mesma quantidade e não sobre nenhuma?" Para resolver a questão, é preciso relacionar o resto ao divisor. Dividindo o total (87) pelo número de alunos (23), restam 18 lápis. Para formar um novo grupo de 23, bastam mais 5 unidades.


Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/fundamental-1/aprender-divisao-mais-dividir-679990.shtml?page=0

Esmeralda brasileira gigante é disputada em processo de US$ 372 milhões nos EUA

Uma esmeralda gigante descoberta na Bahia é o objeto de uma disputa judicial em Los Angeles, Estados Unidos, onde um juiz está analisando o caso para decidir a quem ela pertence. A pedra de 360 kg, um dos maiores minérios preciosos já escavados do mundo, é avaliada em US$ 372 milhões. Uma das partes do processo, Anthony Thomas(foto D), diz que comprou-a por US$ 60 mil de um negociante de pedras preciosas na Bahia pouco após ela ser descoberta, em 2001. Thomas alega que, após fazer os devidos acertos para despachá-la para os Estados Unidos, foi enganado e levado a crer que a esmeralda fora roubada. A esmeralda reapareceu pouco antes do Natal do ano passado. E pelo menos cinco partes reclamam a sua propriedade. Conforme o site Courthouse News Service, há duas outras versões para o que ocorreu com a peça. Uma delas é do negociante de jóias Ken Conetto, de San José, Califórnia, que alega ter acertado com os proprietários originais da esmeralda, Élson Alves Ribeiro e seu sócio Ruy Saraiva, a responsabilidade por vender a pedra nos EUA. Segundo o Wall Street Journal, a peça foi enviada em 2005 para Conetto em San José. De lá, ele enviou a gema para Nova Orleans, onde julgava ter encontrado um comprador. No entanto, o furacão Katrina inundou o galpão onde a gema estava guardada e a venda nunca foi concluída. Outra parte no processo alega ter recebido a gema de um negociante como garantia para uma operação de venda de diamantes pagos e nunca recebidos. Para saldar o negócio, ele teria retirado a pedra do depósito em que ela estava guardada e tentava vendê-la quando a polícia entrou no caso. Uma foto divulgada em 2008 pelo xerife de Los Angeles mostra a pedra bruta, negra, da qual saem grossos cilindros verdes. Especialistas dizem que minerais como esse, em estado bruto, são extremamente raros. O juiz do Superior Tribunal de Justiça de Los Angeles, John A. Kronstadt, disse que tomará a decisão sobre a propriedade da pedra apenas depois de avaliar uma a uma as alegações de propriedade da esmeralda baiana.

A integração das tecnologias na educação

José Manuel Moran

Especialista em mudanças na educação presencial e a distância

jmmoran@usp.br

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As tecnologias evoluem em quatro direções fundamentais:

Do analógico para o digital (digitalização)

Do físico para o virtual (virtualização)

Do fixo para o móvel (mobilidade)

Do massivo para o individual (personalização)

Carly Fiorina, ex-presidente da HPackard

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A digitalização permite registrar, editar, combinar, manipular toda e qualquer informação, por qualquer meio, em qualquer lugar, a qualquer tempo. A digitalização traz a multiplicação de possibilidades de escolha, de interação. A mobilidade e a virtualização nos libertam dos espaços e tempos rígidos, previsíveis, determinados.

 As tecnologias que num primeiro momento são utilizadas de forma separada – computador, celular, Internet, mp3, câmera digital – e caminham na direção da convergência, da integração, dos equipamentos multifuncionais que agregam valor.

 O computador continua, mas ligado à internet, à câmera digital, ao celular, ao mp3, principalmente nos pockets ou computadores de mão. O telefone celular é a tecnologia que atualmente mais agrega valor: é wireless (sem fio) e rapidamente incorporou o acesso à Internet, à foto digital, aos programas de comunicação (voz, TV), ao entretenimento (jogos, música-mp3) e outros serviços.

Estas tecnologias começam a afetar profundamente a educação. Esta sempre esteve e continua presa a lugares e tempos determinados: escola, salas de aula, calendário escolar, grade curricular.  

Há vinte anos, para aprender oficialmente, tínhamos que ir a uma escola. E hoje? Continuamos, na maioria das situações, indo ao mesmo lugar, obrigatoriamente, para aprender. Há mudanças, mas são pequenas, ínfimas, diante do peso da organização escolar como local e tempo fixos, programados, oficiais de aprendizagem.

As tecnologias chegaram na escola, mas estas sempre privilegiaram mais o controle a modernização da infra-estrutura e a gestão do que a mudança. Os programas de gestão administrativa estão mais desenvolvidos do que os voltados à aprendizagem. Há avanços na virtualização da aprendizagem, mas só conseguem arranhar superficialmente a estrutura pesada em que estão estruturados os vários níveis de ensino.

Apesar da resistência institucional, as pressões pelas mudanças são cada vez mais fortes. As empresas estão muito ativas na educação on-line e buscam nas universidades mais agilidade, flexibilização e rapidez na oferta de educação continuada. Os avanços na educação a distância com a LDB e a Internet estão sendo notáveis. A LDB legalizou a educação a distância  e a Internet lhe tirou o ar de isolamento, de atraso, de ensino de segunda classe. A interconectividade que a Internet e as redes desenvolveram nestes últimos anos está começando a revolucionar a forma de ensinar e aprender.

As redes, principalmente a Internet, estão começando a provocar mudanças profundas na educação presencial e a distância. Na presencial, desenraizam o conceito de ensino-aprendizagem localizado e temporalizado. Podemos aprender desde vários lugares, ao mesmo tempo, on e off line, juntos e separados. Como nos bancos, temos nossa agência (escola) que é nosso ponto de referência; só que agora não precisamos ir até lá o tempo todo para poder aprender.

As redes também estão provocando mudanças profundas na educação a distância. Antes a EAD era uma atividade muito solitária e exigia muito auto-disciplina. Agora com as redes a EAD continua como uma atividade individual, combinada com a possibilidade de comunicação instantânea, de criar grupos de aprendizagem, integrando a aprendizagem pessoal com a grupal.

A educação presencial está incorporando tecnologias, funções, atividades que eram típicas da educação a distância, e a EAD está descobrindo que pode ensinar de forma menos individualista, mantendo um equilíbrio entre a flexibilidade e a interação.

Alguns problemas na integração das tecnologias na educação

A escola é uma instituição mais tradicional que inovadora. A cultura escolar tem resistido bravamente às mudanças. Os modelos de ensino focados no professor continuam predominando, apesar dos avanços teóricos em busca de mudanças do foco do ensino para o de aprendizagem. Tudo isto nos mostra que não será fácil mudar esta cultura escolar tradicional, que as inovações serão mais lentas, que muitas instituições reproduzirão no virtual o modelo centralizador no conteúdo e no professor do ensino presencial.

Com os processos convencionais de ensino e com a atual dispersão da atenção da vida urbana, fica muito difícil a autonomia, a organização pessoal, indispensáveis para os processos de aprendizagem à distância. O aluno desorganizado poderá deixar passar o tempo adequado para cada atividade, discussão, produção e poderá sentir dificuldade em acompanhar o ritmo de um curso. Isso atrapalhará sua motivação, sua própria aprendizagem e a do grupo, o que criará tensão ou indiferença. Alunos assim, aos poucos, poderão deixar de participar, de produzir e muitos terão dificuldade, à distância, de retomar a motivação, o entusiasmo pelo curso. No presencial, uma conversa dos colegas mais próximos ou do professor poderá ajudar a que queiram voltar a participar do curso. À distância será possível, mas não fácil.

Os alunos estão prontos para a multimídia, os professores, em geral, não. Os professores sentem cada vez mais claro o descompasso no domínio das tecnologias e, em geral, tentam segurar o máximo que podem, fazendo pequenas concessões, sem mudar o essencial. Creio que muitos professores têm medo de revelar sua dificuldade diante do aluno. Por isso e pelo hábito mantêm uma estrutura repressiva, controladora, repetidora. Os professores percebem que precisam mudar, mas não sabem bem como fazê-lo e não estão preparados para experimentar com segurança. Muitas instituições também exigem mudanças dos professores sem dar-lhes condições para que eles as efetuem. Freqüentemente algumas organizações introduzem computadores, conectam as escolas com a Internet e esperam que só isso melhore os problemas do ensino. Os administradores se frustram ao ver que tanto esforço e dinheiro empatados não se traduzem em mudanças significativas nas aulas e nas atitudes do corpo docente.

A maior parte dos cursos presenciais e on-line continua focada no conteúdo, focada na informação, no professor, no aluno individualmente e na interação com o professor/tutor. Convém que os cursos hoje – principalmente os de formação – sejam focados na construção do conhecimento e na interação; no equilíbrio entre o individual e o grupal, entre conteúdo e interação (aprendizagem cooperativa), um conteúdo em parte preparado e em parte construído ao longo do curso.

É difícil manter a motivação no presencial e muito mais no virtual, se não envolvermos os alunos em processos participativos, afetivos, que inspirem confiança. Os cursos que se limitam à transmissão de informação, de conteúdo, mesmo que estejam brilhantemente produzidos, correm o risco da desmotivação a longo prazo e, principalmente, de que a aprendizagem seja só teórica, insuficiente para dar conta da relação teoria/prática. Em sala de aula, se estivermos atentos, podemos mais facilmente obter feedback dos problemas que acontecem e procurar dialogar ou encontrar novas estratégias pedagógicas. No virtual, o aluno está mais distante, normalmente só acessível por e-mail, que é frio, não imediato, ou por um telefonema eventual, que embora seja mais direto, num curso à distância encarece o custo final.

Mesmo com tecnologias de ponta, ainda temos grandes dificuldades no gerenciamento emocional, tanto no pessoal como no organizacional, o que dificulta o aprendizado rápido. As mudanças na educação dependem, mais do que das novas tecnologias, de termos educadores, gestores e alunos maduros intelectual, emocional e eticamente; pessoas curiosas, entusiasmadas, abertas, que saibam motivar e dialogar; pessoas com as quais valha a pena entrar em contato, porque dele saímos enriquecidos. São poucos os educadores que integram teoria e prática e que aproximam o pensar do viver.

Os educadores marcantes atraem não só pelas suas idéias, mas pelo contato pessoal. Transmitem bondade e competência, tanto no plano pessoal, familiar como no social, dentro e fora da aula, no presencial ou no virtual. Há sempre algo surpreendente, diferente no que dizem, nas relações que estabelecem, na sua forma de olhar, na forma de comunicar-se, de agir. E eles, numa sociedade cada vez mais complexa e virtual, se tornarão referências necessárias.